The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(2^n, INF).

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

U101(tt, V2) → U102(isLNat(activate(V2)))
U102(tt) → tt
U11(tt, N, XS) → U12(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U111(tt) → tt
U12(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U121(tt) → tt
U131(tt, V2) → U132(isLNat(activate(V2)))
U132(tt) → tt
U141(tt, V2) → U142(isLNat(activate(V2)))
U142(tt) → tt
U151(tt, V2) → U152(isLNat(activate(V2)))
U152(tt) → tt
U161(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
U171(tt, N, XS) → U172(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U172(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U181(tt, Y) → U182(isLNat(activate(Y)), activate(Y))
U182(tt, Y) → activate(Y)
U191(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U201(tt, N, X, XS) → U202(isNatural(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U202(tt, N, X, XS) → U203(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U203(tt, N, X, XS) → U204(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U204(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U21(tt, X, Y) → U22(isLNat(activate(Y)), activate(X))
U211(tt, XS) → U212(isLNat(activate(XS)), activate(XS))
U212(tt, XS) → activate(XS)
U22(tt, X) → activate(X)
U221(tt, N, XS) → U222(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U222(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U31(tt, N, XS) → U32(isLNat(activate(XS)), activate(N))
U32(tt, N) → activate(N)
U41(tt, V2) → U42(isLNat(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isLNat(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt) → tt
U81(tt) → tt
U91(tt) → tt
afterNth(N, XS) → U11(isNatural(N), N, XS)
fst(pair(X, Y)) → U21(isLNat(X), X, Y)
head(cons(N, XS)) → U31(isNatural(N), N, activate(XS))
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → U41(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → U51(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) → U61(isPLNat(activate(V1)))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → U71(isNatural(activate(V1)))
isLNat(n__snd(V1)) → U81(isPLNat(activate(V1)))
isLNat(n__tail(V1)) → U91(isLNat(activate(V1)))
isLNat(n__take(V1, V2)) → U101(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → U111(isLNat(activate(V1)))
isNatural(n__s(V1)) → U121(isNatural(activate(V1)))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → U131(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → U141(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → U151(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
natsFrom(N) → U161(isNatural(N), N)
sel(N, XS) → U171(isNatural(N), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U181(isLNat(X), Y)
splitAt(0, XS) → U191(isLNat(XS), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U201(isNatural(N), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U211(isNatural(N), activate(XS))
take(N, XS) → U221(isNatural(N), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0 → n__0
head(X) → n__head(X)
s(X) → n__s(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(X1, X2)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__fst(X)) → fst(X)
activate(n__snd(X)) → snd(X)
activate(n__tail(X)) → tail(X)
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0
activate(n__head(X)) → head(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(X1, X2)
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(X1, X2)
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(X1, X2)
activate(X) → X

Rewrite Strategy: FULL

(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)

The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(2ⁿ):
The rewrite sequence
activate(n__afterNth(n__0, X2)) →⁺ U12(isLNat(activate(X2)), activate(n__0), activate(X2))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,0].
The pumping substitution is [X2 / n__afterNth(n__0, X2)].
The result substitution is [ ].

The rewrite sequence
activate(n__afterNth(n__0, X2)) →⁺ U12(isLNat(activate(X2)), activate(n__0), activate(X2))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [2].
The pumping substitution is [X2 / n__afterNth(n__0, X2)].
The result substitution is [ ].

(2) BOUNDS(2^n, INF)

(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

U101(tt, V2) → U102(isLNat(activate(V2)))
U102(tt) → tt
U11(tt, N, XS) → U12(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U111(tt) → tt
U12(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U121(tt) → tt
U131(tt, V2) → U132(isLNat(activate(V2)))
U132(tt) → tt
U141(tt, V2) → U142(isLNat(activate(V2)))
U142(tt) → tt
U151(tt, V2) → U152(isLNat(activate(V2)))
U152(tt) → tt
U161(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
U171(tt, N, XS) → U172(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U172(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U181(tt, Y) → U182(isLNat(activate(Y)), activate(Y))
U182(tt, Y) → activate(Y)
U191(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U201(tt, N, X, XS) → U202(isNatural(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U202(tt, N, X, XS) → U203(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U203(tt, N, X, XS) → U204(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U204(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U21(tt, X, Y) → U22(isLNat(activate(Y)), activate(X))
U211(tt, XS) → U212(isLNat(activate(XS)), activate(XS))
U212(tt, XS) → activate(XS)
U22(tt, X) → activate(X)
U221(tt, N, XS) → U222(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U222(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U31(tt, N, XS) → U32(isLNat(activate(XS)), activate(N))
U32(tt, N) → activate(N)
U41(tt, V2) → U42(isLNat(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isLNat(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt) → tt
U81(tt) → tt
U91(tt) → tt
afterNth(N, XS) → U11(isNatural(N), N, XS)
fst(pair(X, Y)) → U21(isLNat(X), X, Y)
head(cons(N, XS)) → U31(isNatural(N), N, activate(XS))
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → U41(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → U51(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) → U61(isPLNat(activate(V1)))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → U71(isNatural(activate(V1)))
isLNat(n__snd(V1)) → U81(isPLNat(activate(V1)))
isLNat(n__tail(V1)) → U91(isLNat(activate(V1)))
isLNat(n__take(V1, V2)) → U101(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → U111(isLNat(activate(V1)))
isNatural(n__s(V1)) → U121(isNatural(activate(V1)))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → U131(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → U141(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → U151(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
natsFrom(N) → U161(isNatural(N), N)
sel(N, XS) → U171(isNatural(N), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U181(isLNat(X), Y)
splitAt(0', XS) → U191(isLNat(XS), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U201(isNatural(N), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U211(isNatural(N), activate(XS))
take(N, XS) → U221(isNatural(N), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
s(X) → n__s(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(X1, X2)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__fst(X)) → fst(X)
activate(n__snd(X)) → snd(X)
activate(n__tail(X)) → tail(X)
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(X1, X2)
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(X1, X2)
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(X1, X2)
activate(X) → X

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(6) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, V2) → U102(isLNat(activate(V2)))
U102(tt) → tt
U11(tt, N, XS) → U12(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U111(tt) → tt
U12(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U121(tt) → tt
U131(tt, V2) → U132(isLNat(activate(V2)))
U132(tt) → tt
U141(tt, V2) → U142(isLNat(activate(V2)))
U142(tt) → tt
U151(tt, V2) → U152(isLNat(activate(V2)))
U152(tt) → tt
U161(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
U171(tt, N, XS) → U172(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U172(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U181(tt, Y) → U182(isLNat(activate(Y)), activate(Y))
U182(tt, Y) → activate(Y)
U191(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U201(tt, N, X, XS) → U202(isNatural(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U202(tt, N, X, XS) → U203(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U203(tt, N, X, XS) → U204(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U204(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U21(tt, X, Y) → U22(isLNat(activate(Y)), activate(X))
U211(tt, XS) → U212(isLNat(activate(XS)), activate(XS))
U212(tt, XS) → activate(XS)
U22(tt, X) → activate(X)
U221(tt, N, XS) → U222(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U222(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U31(tt, N, XS) → U32(isLNat(activate(XS)), activate(N))
U32(tt, N) → activate(N)
U41(tt, V2) → U42(isLNat(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isLNat(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt) → tt
U81(tt) → tt
U91(tt) → tt
afterNth(N, XS) → U11(isNatural(N), N, XS)
fst(pair(X, Y)) → U21(isLNat(X), X, Y)
head(cons(N, XS)) → U31(isNatural(N), N, activate(XS))
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → U41(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → U51(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) → U61(isPLNat(activate(V1)))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → U71(isNatural(activate(V1)))
isLNat(n__snd(V1)) → U81(isPLNat(activate(V1)))
isLNat(n__tail(V1)) → U91(isLNat(activate(V1)))
isLNat(n__take(V1, V2)) → U101(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → U111(isLNat(activate(V1)))
isNatural(n__s(V1)) → U121(isNatural(activate(V1)))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → U131(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → U141(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → U151(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
natsFrom(N) → U161(isNatural(N), N)
sel(N, XS) → U171(isNatural(N), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U181(isLNat(X), Y)
splitAt(0', XS) → U191(isLNat(XS), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U201(isNatural(N), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U211(isNatural(N), activate(XS))
take(N, XS) → U221(isNatural(N), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
s(X) → n__s(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(X1, X2)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__fst(X)) → fst(X)
activate(n__snd(X)) → snd(X)
activate(n__tail(X)) → tail(X)
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(X1, X2)
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(X1, X2)
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
U101 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
tt :: tt
U102 :: tt → tt
isLNat :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
activate :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U11 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U12 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U111 :: tt → tt
snd :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
splitAt :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U121 :: tt → tt
U131 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U132 :: tt → tt
U141 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U142 :: tt → tt
U151 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U152 :: tt → tt
U161 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
cons :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__natsFrom :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
s :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U171 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U172 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
head :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
afterNth :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U181 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U182 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U191 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
pair :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
nil :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U201 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U202 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isNatural :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U203 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U204 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U21 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U22 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U211 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U212 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U221 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U222 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
fst :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U31 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U32 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U41 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U42 :: tt → tt
U51 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → tt
U71 :: tt → tt
U81 :: tt → tt
U91 :: tt → tt
n__nil :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__afterNth :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__cons :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__fst :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isPLNat :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
n__snd :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__tail :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__take :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__0 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__head :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__s :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__sel :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__pair :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__splitAt :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
natsFrom :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
sel :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
0' :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
tail :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
take :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
hole_tt1_5 :: tt
hole_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_5 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5 :: Nat → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt

(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
isLNat, activate, snd, splitAt, head, afterNth, U191, isNatural, U204, fst, isPLNat, natsFrom, tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
isLNat = activate
isLNat = snd
isLNat = splitAt
isLNat = head
isLNat = afterNth
isLNat = U191
isLNat = isNatural
isLNat = U204
isLNat = fst
isLNat = isPLNat
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
activate = snd
activate = splitAt
activate = head
activate = afterNth
activate = U191
activate = isNatural
activate = U204
activate = fst
activate = isPLNat
activate = natsFrom
activate = tail
snd = splitAt
snd = head
snd = afterNth
snd = U191
snd = isNatural
snd = U204
snd = fst
snd = isPLNat
snd = natsFrom
snd = tail
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U191
splitAt = isNatural
splitAt = U204
splitAt = fst
splitAt = isPLNat
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
head = afterNth
head = U191
head = isNatural
head = U204
head = fst
head = isPLNat
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U191
afterNth = isNatural
afterNth = U204
afterNth = fst
afterNth = isPLNat
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U191 = isNatural
U191 = U204
U191 = fst
U191 = isPLNat
U191 = natsFrom
U191 = tail
isNatural = U204
isNatural = fst
isNatural = isPLNat
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
U204 = fst
U204 = isPLNat
U204 = natsFrom
U204 = tail
fst = isPLNat
fst = natsFrom
fst = tail
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
natsFrom = tail

(8) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, V2) → U102(isLNat(activate(V2)))
U102(tt) → tt
U11(tt, N, XS) → U12(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U111(tt) → tt
U12(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U121(tt) → tt
U131(tt, V2) → U132(isLNat(activate(V2)))
U132(tt) → tt
U141(tt, V2) → U142(isLNat(activate(V2)))
U142(tt) → tt
U151(tt, V2) → U152(isLNat(activate(V2)))
U152(tt) → tt
U161(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
U171(tt, N, XS) → U172(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U172(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U181(tt, Y) → U182(isLNat(activate(Y)), activate(Y))
U182(tt, Y) → activate(Y)
U191(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U201(tt, N, X, XS) → U202(isNatural(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U202(tt, N, X, XS) → U203(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U203(tt, N, X, XS) → U204(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U204(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U21(tt, X, Y) → U22(isLNat(activate(Y)), activate(X))
U211(tt, XS) → U212(isLNat(activate(XS)), activate(XS))
U212(tt, XS) → activate(XS)
U22(tt, X) → activate(X)
U221(tt, N, XS) → U222(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U222(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U31(tt, N, XS) → U32(isLNat(activate(XS)), activate(N))
U32(tt, N) → activate(N)
U41(tt, V2) → U42(isLNat(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isLNat(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt) → tt
U81(tt) → tt
U91(tt) → tt
afterNth(N, XS) → U11(isNatural(N), N, XS)
fst(pair(X, Y)) → U21(isLNat(X), X, Y)
head(cons(N, XS)) → U31(isNatural(N), N, activate(XS))
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → U41(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → U51(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) → U61(isPLNat(activate(V1)))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → U71(isNatural(activate(V1)))
isLNat(n__snd(V1)) → U81(isPLNat(activate(V1)))
isLNat(n__tail(V1)) → U91(isLNat(activate(V1)))
isLNat(n__take(V1, V2)) → U101(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → U111(isLNat(activate(V1)))
isNatural(n__s(V1)) → U121(isNatural(activate(V1)))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → U131(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → U141(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → U151(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
natsFrom(N) → U161(isNatural(N), N)
sel(N, XS) → U171(isNatural(N), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U181(isLNat(X), Y)
splitAt(0', XS) → U191(isLNat(XS), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U201(isNatural(N), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U211(isNatural(N), activate(XS))
take(N, XS) → U221(isNatural(N), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
s(X) → n__s(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(X1, X2)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__fst(X)) → fst(X)
activate(n__snd(X)) → snd(X)
activate(n__tail(X)) → tail(X)
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(X1, X2)
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(X1, X2)
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
U101 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
tt :: tt
U102 :: tt → tt
isLNat :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
activate :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U11 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U12 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U111 :: tt → tt
snd :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
splitAt :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U121 :: tt → tt
U131 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
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U152 :: tt → tt
U161 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
cons :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__natsFrom :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
s :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U171 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U172 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
head :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
afterNth :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U181 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U182 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
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nil :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U201 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U202 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
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n__snd :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__tail :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__take :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__0 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__head :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__s :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__sel :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__pair :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__splitAt :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
natsFrom :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
sel :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
0' :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
tail :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
take :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
hole_tt1_5 :: tt
hole_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_5 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5 :: Nat → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt

Generator Equations:
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5(0) ⇔ n__nil
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isNatural, isLNat, activate, snd, splitAt, head, afterNth, U191, U204, fst, isPLNat, natsFrom, tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
isLNat = activate
isLNat = snd
isLNat = splitAt
isLNat = head
isLNat = afterNth
isLNat = U191
isLNat = isNatural
isLNat = U204
isLNat = fst
isLNat = isPLNat
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
activate = snd
activate = splitAt
activate = head
activate = afterNth
activate = U191
activate = isNatural
activate = U204
activate = fst
activate = isPLNat
activate = natsFrom
activate = tail
snd = splitAt
snd = head
snd = afterNth
snd = U191
snd = isNatural
snd = U204
snd = fst
snd = isPLNat
snd = natsFrom
snd = tail
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U191
splitAt = isNatural
splitAt = U204
splitAt = fst
splitAt = isPLNat
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
head = afterNth
head = U191
head = isNatural
head = U204
head = fst
head = isPLNat
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U191
afterNth = isNatural
afterNth = U204
afterNth = fst
afterNth = isPLNat
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U191 = isNatural
U191 = U204
U191 = fst
U191 = isPLNat
U191 = natsFrom
U191 = tail
isNatural = U204
isNatural = fst
isNatural = isPLNat
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
U204 = fst
U204 = isPLNat
U204 = natsFrom
U204 = tail
fst = isPLNat
fst = natsFrom
fst = tail
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
natsFrom = tail

(9) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNatural.

(10) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, V2) → U102(isLNat(activate(V2)))
U102(tt) → tt
U11(tt, N, XS) → U12(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U111(tt) → tt
U12(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U121(tt) → tt
U131(tt, V2) → U132(isLNat(activate(V2)))
U132(tt) → tt
U141(tt, V2) → U142(isLNat(activate(V2)))
U142(tt) → tt
U151(tt, V2) → U152(isLNat(activate(V2)))
U152(tt) → tt
U161(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
U171(tt, N, XS) → U172(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U172(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U181(tt, Y) → U182(isLNat(activate(Y)), activate(Y))
U182(tt, Y) → activate(Y)
U191(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U201(tt, N, X, XS) → U202(isNatural(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U202(tt, N, X, XS) → U203(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U203(tt, N, X, XS) → U204(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U204(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U21(tt, X, Y) → U22(isLNat(activate(Y)), activate(X))
U211(tt, XS) → U212(isLNat(activate(XS)), activate(XS))
U212(tt, XS) → activate(XS)
U22(tt, X) → activate(X)
U221(tt, N, XS) → U222(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U222(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U31(tt, N, XS) → U32(isLNat(activate(XS)), activate(N))
U32(tt, N) → activate(N)
U41(tt, V2) → U42(isLNat(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isLNat(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt) → tt
U81(tt) → tt
U91(tt) → tt
afterNth(N, XS) → U11(isNatural(N), N, XS)
fst(pair(X, Y)) → U21(isLNat(X), X, Y)
head(cons(N, XS)) → U31(isNatural(N), N, activate(XS))
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → U41(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → U51(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) → U61(isPLNat(activate(V1)))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → U71(isNatural(activate(V1)))
isLNat(n__snd(V1)) → U81(isPLNat(activate(V1)))
isLNat(n__tail(V1)) → U91(isLNat(activate(V1)))
isLNat(n__take(V1, V2)) → U101(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → U111(isLNat(activate(V1)))
isNatural(n__s(V1)) → U121(isNatural(activate(V1)))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → U131(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → U141(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → U151(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
natsFrom(N) → U161(isNatural(N), N)
sel(N, XS) → U171(isNatural(N), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U181(isLNat(X), Y)
splitAt(0', XS) → U191(isLNat(XS), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U201(isNatural(N), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U211(isNatural(N), activate(XS))
take(N, XS) → U221(isNatural(N), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
s(X) → n__s(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(X1, X2)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__fst(X)) → fst(X)
activate(n__snd(X)) → snd(X)
activate(n__tail(X)) → tail(X)
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(X1, X2)
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(X1, X2)
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
U101 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
tt :: tt
U102 :: tt → tt
isLNat :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
activate :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U11 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U12 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U111 :: tt → tt
snd :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
splitAt :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U121 :: tt → tt
U131 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U132 :: tt → tt
U141 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U142 :: tt → tt
U151 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U152 :: tt → tt
U161 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
cons :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__natsFrom :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
s :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U171 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U172 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
head :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
afterNth :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U181 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U182 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U191 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
pair :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
nil :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U201 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U202 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isNatural :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U203 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U204 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U21 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U22 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U211 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U212 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U221 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U222 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
fst :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U31 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U32 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U41 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U42 :: tt → tt
U51 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → tt
U71 :: tt → tt
U81 :: tt → tt
U91 :: tt → tt
n__nil :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__afterNth :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__cons :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__fst :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isPLNat :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
n__snd :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__tail :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__take :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__0 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__head :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__s :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__sel :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__pair :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__splitAt :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
natsFrom :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
sel :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
0' :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
tail :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
take :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
hole_tt1_5 :: tt
hole_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_5 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5 :: Nat → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt

Generator Equations:
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5(0) ⇔ n__nil
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isLNat, activate, snd, splitAt, head, afterNth, U191, U204, fst, isPLNat, natsFrom, tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
isLNat = activate
isLNat = snd
isLNat = splitAt
isLNat = head
isLNat = afterNth
isLNat = U191
isLNat = isNatural
isLNat = U204
isLNat = fst
isLNat = isPLNat
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
activate = snd
activate = splitAt
activate = head
activate = afterNth
activate = U191
activate = isNatural
activate = U204
activate = fst
activate = isPLNat
activate = natsFrom
activate = tail
snd = splitAt
snd = head
snd = afterNth
snd = U191
snd = isNatural
snd = U204
snd = fst
snd = isPLNat
snd = natsFrom
snd = tail
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U191
splitAt = isNatural
splitAt = U204
splitAt = fst
splitAt = isPLNat
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
head = afterNth
head = U191
head = isNatural
head = U204
head = fst
head = isPLNat
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U191
afterNth = isNatural
afterNth = U204
afterNth = fst
afterNth = isPLNat
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U191 = isNatural
U191 = U204
U191 = fst
U191 = isPLNat
U191 = natsFrom
U191 = tail
isNatural = U204
isNatural = fst
isNatural = isPLNat
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
U204 = fst
U204 = isPLNat
U204 = natsFrom
U204 = tail
fst = isPLNat
fst = natsFrom
fst = tail
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
natsFrom = tail

(11) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isLNat.

(12) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, V2) → U102(isLNat(activate(V2)))
U102(tt) → tt
U11(tt, N, XS) → U12(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U111(tt) → tt
U12(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U121(tt) → tt
U131(tt, V2) → U132(isLNat(activate(V2)))
U132(tt) → tt
U141(tt, V2) → U142(isLNat(activate(V2)))
U142(tt) → tt
U151(tt, V2) → U152(isLNat(activate(V2)))
U152(tt) → tt
U161(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
U171(tt, N, XS) → U172(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U172(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U181(tt, Y) → U182(isLNat(activate(Y)), activate(Y))
U182(tt, Y) → activate(Y)
U191(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U201(tt, N, X, XS) → U202(isNatural(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U202(tt, N, X, XS) → U203(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U203(tt, N, X, XS) → U204(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U204(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U21(tt, X, Y) → U22(isLNat(activate(Y)), activate(X))
U211(tt, XS) → U212(isLNat(activate(XS)), activate(XS))
U212(tt, XS) → activate(XS)
U22(tt, X) → activate(X)
U221(tt, N, XS) → U222(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U222(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U31(tt, N, XS) → U32(isLNat(activate(XS)), activate(N))
U32(tt, N) → activate(N)
U41(tt, V2) → U42(isLNat(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isLNat(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt) → tt
U81(tt) → tt
U91(tt) → tt
afterNth(N, XS) → U11(isNatural(N), N, XS)
fst(pair(X, Y)) → U21(isLNat(X), X, Y)
head(cons(N, XS)) → U31(isNatural(N), N, activate(XS))
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → U41(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → U51(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) → U61(isPLNat(activate(V1)))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → U71(isNatural(activate(V1)))
isLNat(n__snd(V1)) → U81(isPLNat(activate(V1)))
isLNat(n__tail(V1)) → U91(isLNat(activate(V1)))
isLNat(n__take(V1, V2)) → U101(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → U111(isLNat(activate(V1)))
isNatural(n__s(V1)) → U121(isNatural(activate(V1)))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → U131(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → U141(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → U151(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
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sel(N, XS) → U171(isNatural(N), N, XS)
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splitAt(0', XS) → U191(isLNat(XS), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U201(isNatural(N), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U211(isNatural(N), activate(XS))
take(N, XS) → U221(isNatural(N), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
s(X) → n__s(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(X1, X2)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__fst(X)) → fst(X)
activate(n__snd(X)) → snd(X)
activate(n__tail(X)) → tail(X)
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
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n__sel :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__pair :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__splitAt :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
natsFrom :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
sel :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
0' :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
tail :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
take :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
hole_tt1_5 :: tt
hole_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_5 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5 :: Nat → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt

Generator Equations:
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5(0) ⇔ n__nil
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
activate, snd, splitAt, head, afterNth, U191, U204, fst, isPLNat, natsFrom, tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
isLNat = activate
isLNat = snd
isLNat = splitAt
isLNat = head
isLNat = afterNth
isLNat = U191
isLNat = isNatural
isLNat = U204
isLNat = fst
isLNat = isPLNat
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
activate = snd
activate = splitAt
activate = head
activate = afterNth
activate = U191
activate = isNatural
activate = U204
activate = fst
activate = isPLNat
activate = natsFrom
activate = tail
snd = splitAt
snd = head
snd = afterNth
snd = U191
snd = isNatural
snd = U204
snd = fst
snd = isPLNat
snd = natsFrom
snd = tail
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U191
splitAt = isNatural
splitAt = U204
splitAt = fst
splitAt = isPLNat
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
head = afterNth
head = U191
head = isNatural
head = U204
head = fst
head = isPLNat
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U191
afterNth = isNatural
afterNth = U204
afterNth = fst
afterNth = isPLNat
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U191 = isNatural
U191 = U204
U191 = fst
U191 = isPLNat
U191 = natsFrom
U191 = tail
isNatural = U204
isNatural = fst
isNatural = isPLNat
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
U204 = fst
U204 = isPLNat
U204 = natsFrom
U204 = tail
fst = isPLNat
fst = natsFrom
fst = tail
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
natsFrom = tail

(13) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol activate.

(14) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, V2) → U102(isLNat(activate(V2)))
U102(tt) → tt
U11(tt, N, XS) → U12(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U111(tt) → tt
U12(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U121(tt) → tt
U131(tt, V2) → U132(isLNat(activate(V2)))
U132(tt) → tt
U141(tt, V2) → U142(isLNat(activate(V2)))
U142(tt) → tt
U151(tt, V2) → U152(isLNat(activate(V2)))
U152(tt) → tt
U161(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
U171(tt, N, XS) → U172(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U172(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U181(tt, Y) → U182(isLNat(activate(Y)), activate(Y))
U182(tt, Y) → activate(Y)
U191(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U201(tt, N, X, XS) → U202(isNatural(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U202(tt, N, X, XS) → U203(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U203(tt, N, X, XS) → U204(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U204(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U21(tt, X, Y) → U22(isLNat(activate(Y)), activate(X))
U211(tt, XS) → U212(isLNat(activate(XS)), activate(XS))
U212(tt, XS) → activate(XS)
U22(tt, X) → activate(X)
U221(tt, N, XS) → U222(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U222(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U31(tt, N, XS) → U32(isLNat(activate(XS)), activate(N))
U32(tt, N) → activate(N)
U41(tt, V2) → U42(isLNat(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isLNat(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt) → tt
U81(tt) → tt
U91(tt) → tt
afterNth(N, XS) → U11(isNatural(N), N, XS)
fst(pair(X, Y)) → U21(isLNat(X), X, Y)
head(cons(N, XS)) → U31(isNatural(N), N, activate(XS))
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → U41(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → U51(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) → U61(isPLNat(activate(V1)))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → U71(isNatural(activate(V1)))
isLNat(n__snd(V1)) → U81(isPLNat(activate(V1)))
isLNat(n__tail(V1)) → U91(isLNat(activate(V1)))
isLNat(n__take(V1, V2)) → U101(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → U111(isLNat(activate(V1)))
isNatural(n__s(V1)) → U121(isNatural(activate(V1)))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → U131(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → U141(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → U151(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
natsFrom(N) → U161(isNatural(N), N)
sel(N, XS) → U171(isNatural(N), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U181(isLNat(X), Y)
splitAt(0', XS) → U191(isLNat(XS), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U201(isNatural(N), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U211(isNatural(N), activate(XS))
take(N, XS) → U221(isNatural(N), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
s(X) → n__s(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(X1, X2)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__fst(X)) → fst(X)
activate(n__snd(X)) → snd(X)
activate(n__tail(X)) → tail(X)
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(X1, X2)
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(X1, X2)
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
U101 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
tt :: tt
U102 :: tt → tt
isLNat :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
activate :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U11 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U12 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U111 :: tt → tt
snd :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
splitAt :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U121 :: tt → tt
U131 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U132 :: tt → tt
U141 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U142 :: tt → tt
U151 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U152 :: tt → tt
U161 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
cons :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__natsFrom :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
s :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U171 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U172 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
head :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
afterNth :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U181 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U182 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U191 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
pair :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
nil :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U201 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U202 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isNatural :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U203 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U204 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U21 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U22 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U211 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U212 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U221 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U222 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
fst :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U31 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U32 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U41 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U42 :: tt → tt
U51 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → tt
U71 :: tt → tt
U81 :: tt → tt
U91 :: tt → tt
n__nil :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__afterNth :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__cons :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__fst :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isPLNat :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
n__snd :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__tail :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__take :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__0 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__head :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__s :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__sel :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__pair :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__splitAt :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
natsFrom :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
sel :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
0' :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
tail :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
take :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
hole_tt1_5 :: tt
hole_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_5 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5 :: Nat → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt

Generator Equations:
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5(0) ⇔ n__nil
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
natsFrom, snd, splitAt, head, afterNth, U191, U204, fst, isPLNat, tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
isLNat = activate
isLNat = snd
isLNat = splitAt
isLNat = head
isLNat = afterNth
isLNat = U191
isLNat = isNatural
isLNat = U204
isLNat = fst
isLNat = isPLNat
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
activate = snd
activate = splitAt
activate = head
activate = afterNth
activate = U191
activate = isNatural
activate = U204
activate = fst
activate = isPLNat
activate = natsFrom
activate = tail
snd = splitAt
snd = head
snd = afterNth
snd = U191
snd = isNatural
snd = U204
snd = fst
snd = isPLNat
snd = natsFrom
snd = tail
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U191
splitAt = isNatural
splitAt = U204
splitAt = fst
splitAt = isPLNat
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
head = afterNth
head = U191
head = isNatural
head = U204
head = fst
head = isPLNat
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U191
afterNth = isNatural
afterNth = U204
afterNth = fst
afterNth = isPLNat
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U191 = isNatural
U191 = U204
U191 = fst
U191 = isPLNat
U191 = natsFrom
U191 = tail
isNatural = U204
isNatural = fst
isNatural = isPLNat
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
U204 = fst
U204 = isPLNat
U204 = natsFrom
U204 = tail
fst = isPLNat
fst = natsFrom
fst = tail
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
natsFrom = tail

(15) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol natsFrom.

(16) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, V2) → U102(isLNat(activate(V2)))
U102(tt) → tt
U11(tt, N, XS) → U12(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U111(tt) → tt
U12(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U121(tt) → tt
U131(tt, V2) → U132(isLNat(activate(V2)))
U132(tt) → tt
U141(tt, V2) → U142(isLNat(activate(V2)))
U142(tt) → tt
U151(tt, V2) → U152(isLNat(activate(V2)))
U152(tt) → tt
U161(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
U171(tt, N, XS) → U172(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U172(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U181(tt, Y) → U182(isLNat(activate(Y)), activate(Y))
U182(tt, Y) → activate(Y)
U191(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U201(tt, N, X, XS) → U202(isNatural(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U202(tt, N, X, XS) → U203(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U203(tt, N, X, XS) → U204(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U204(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U21(tt, X, Y) → U22(isLNat(activate(Y)), activate(X))
U211(tt, XS) → U212(isLNat(activate(XS)), activate(XS))
U212(tt, XS) → activate(XS)
U22(tt, X) → activate(X)
U221(tt, N, XS) → U222(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U222(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U31(tt, N, XS) → U32(isLNat(activate(XS)), activate(N))
U32(tt, N) → activate(N)
U41(tt, V2) → U42(isLNat(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isLNat(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt) → tt
U81(tt) → tt
U91(tt) → tt
afterNth(N, XS) → U11(isNatural(N), N, XS)
fst(pair(X, Y)) → U21(isLNat(X), X, Y)
head(cons(N, XS)) → U31(isNatural(N), N, activate(XS))
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → U41(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → U51(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) → U61(isPLNat(activate(V1)))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → U71(isNatural(activate(V1)))
isLNat(n__snd(V1)) → U81(isPLNat(activate(V1)))
isLNat(n__tail(V1)) → U91(isLNat(activate(V1)))
isLNat(n__take(V1, V2)) → U101(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → U111(isLNat(activate(V1)))
isNatural(n__s(V1)) → U121(isNatural(activate(V1)))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → U131(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → U141(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → U151(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
natsFrom(N) → U161(isNatural(N), N)
sel(N, XS) → U171(isNatural(N), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U181(isLNat(X), Y)
splitAt(0', XS) → U191(isLNat(XS), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U201(isNatural(N), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U211(isNatural(N), activate(XS))
take(N, XS) → U221(isNatural(N), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
s(X) → n__s(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(X1, X2)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__fst(X)) → fst(X)
activate(n__snd(X)) → snd(X)
activate(n__tail(X)) → tail(X)
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(X1, X2)
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(X1, X2)
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
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take :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
hole_tt1_5 :: tt
hole_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_5 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5 :: Nat → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt

Generator Equations:
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5(0) ⇔ n__nil
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
afterNth, snd, splitAt, head, U191, U204, fst, isPLNat, tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
isLNat = activate
isLNat = snd
isLNat = splitAt
isLNat = head
isLNat = afterNth
isLNat = U191
isLNat = isNatural
isLNat = U204
isLNat = fst
isLNat = isPLNat
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
activate = snd
activate = splitAt
activate = head
activate = afterNth
activate = U191
activate = isNatural
activate = U204
activate = fst
activate = isPLNat
activate = natsFrom
activate = tail
snd = splitAt
snd = head
snd = afterNth
snd = U191
snd = isNatural
snd = U204
snd = fst
snd = isPLNat
snd = natsFrom
snd = tail
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U191
splitAt = isNatural
splitAt = U204
splitAt = fst
splitAt = isPLNat
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
head = afterNth
head = U191
head = isNatural
head = U204
head = fst
head = isPLNat
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U191
afterNth = isNatural
afterNth = U204
afterNth = fst
afterNth = isPLNat
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U191 = isNatural
U191 = U204
U191 = fst
U191 = isPLNat
U191 = natsFrom
U191 = tail
isNatural = U204
isNatural = fst
isNatural = isPLNat
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
U204 = fst
U204 = isPLNat
U204 = natsFrom
U204 = tail
fst = isPLNat
fst = natsFrom
fst = tail
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
natsFrom = tail

(17) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol afterNth.

(18) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, V2) → U102(isLNat(activate(V2)))
U102(tt) → tt
U11(tt, N, XS) → U12(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U111(tt) → tt
U12(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U121(tt) → tt
U131(tt, V2) → U132(isLNat(activate(V2)))
U132(tt) → tt
U141(tt, V2) → U142(isLNat(activate(V2)))
U142(tt) → tt
U151(tt, V2) → U152(isLNat(activate(V2)))
U152(tt) → tt
U161(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
U171(tt, N, XS) → U172(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U172(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U181(tt, Y) → U182(isLNat(activate(Y)), activate(Y))
U182(tt, Y) → activate(Y)
U191(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U201(tt, N, X, XS) → U202(isNatural(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U202(tt, N, X, XS) → U203(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U203(tt, N, X, XS) → U204(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U204(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U21(tt, X, Y) → U22(isLNat(activate(Y)), activate(X))
U211(tt, XS) → U212(isLNat(activate(XS)), activate(XS))
U212(tt, XS) → activate(XS)
U22(tt, X) → activate(X)
U221(tt, N, XS) → U222(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U222(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U31(tt, N, XS) → U32(isLNat(activate(XS)), activate(N))
U32(tt, N) → activate(N)
U41(tt, V2) → U42(isLNat(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isLNat(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt) → tt
U81(tt) → tt
U91(tt) → tt
afterNth(N, XS) → U11(isNatural(N), N, XS)
fst(pair(X, Y)) → U21(isLNat(X), X, Y)
head(cons(N, XS)) → U31(isNatural(N), N, activate(XS))
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → U41(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → U51(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) → U61(isPLNat(activate(V1)))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → U71(isNatural(activate(V1)))
isLNat(n__snd(V1)) → U81(isPLNat(activate(V1)))
isLNat(n__tail(V1)) → U91(isLNat(activate(V1)))
isLNat(n__take(V1, V2)) → U101(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → U111(isLNat(activate(V1)))
isNatural(n__s(V1)) → U121(isNatural(activate(V1)))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → U131(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → U141(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → U151(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
natsFrom(N) → U161(isNatural(N), N)
sel(N, XS) → U171(isNatural(N), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U181(isLNat(X), Y)
splitAt(0', XS) → U191(isLNat(XS), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U201(isNatural(N), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U211(isNatural(N), activate(XS))
take(N, XS) → U221(isNatural(N), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
s(X) → n__s(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(X1, X2)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__fst(X)) → fst(X)
activate(n__snd(X)) → snd(X)
activate(n__tail(X)) → tail(X)
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(X1, X2)
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(X1, X2)
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
U101 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
tt :: tt
U102 :: tt → tt
isLNat :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
activate :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U11 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U12 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U111 :: tt → tt
snd :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
splitAt :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U121 :: tt → tt
U131 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U132 :: tt → tt
U141 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U142 :: tt → tt
U151 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U152 :: tt → tt
U161 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
cons :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__natsFrom :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
s :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U171 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U172 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
head :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
afterNth :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U181 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U182 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U191 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
pair :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
nil :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U201 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U202 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isNatural :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U203 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U204 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U21 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U22 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U211 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U212 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U221 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U222 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
fst :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U31 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U32 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U41 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U42 :: tt → tt
U51 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → tt
U71 :: tt → tt
U81 :: tt → tt
U91 :: tt → tt
n__nil :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__afterNth :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__cons :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__fst :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isPLNat :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
n__snd :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__tail :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__take :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__0 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__head :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__s :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__sel :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__pair :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__splitAt :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
natsFrom :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
sel :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
0' :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
tail :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
take :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
hole_tt1_5 :: tt
hole_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_5 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5 :: Nat → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt

Generator Equations:
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5(0) ⇔ n__nil
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
snd, splitAt, head, U191, U204, fst, isPLNat, tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
isLNat = activate
isLNat = snd
isLNat = splitAt
isLNat = head
isLNat = afterNth
isLNat = U191
isLNat = isNatural
isLNat = U204
isLNat = fst
isLNat = isPLNat
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
activate = snd
activate = splitAt
activate = head
activate = afterNth
activate = U191
activate = isNatural
activate = U204
activate = fst
activate = isPLNat
activate = natsFrom
activate = tail
snd = splitAt
snd = head
snd = afterNth
snd = U191
snd = isNatural
snd = U204
snd = fst
snd = isPLNat
snd = natsFrom
snd = tail
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U191
splitAt = isNatural
splitAt = U204
splitAt = fst
splitAt = isPLNat
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
head = afterNth
head = U191
head = isNatural
head = U204
head = fst
head = isPLNat
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U191
afterNth = isNatural
afterNth = U204
afterNth = fst
afterNth = isPLNat
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U191 = isNatural
U191 = U204
U191 = fst
U191 = isPLNat
U191 = natsFrom
U191 = tail
isNatural = U204
isNatural = fst
isNatural = isPLNat
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
U204 = fst
U204 = isPLNat
U204 = natsFrom
U204 = tail
fst = isPLNat
fst = natsFrom
fst = tail
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
natsFrom = tail

(19) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol snd.

(20) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, V2) → U102(isLNat(activate(V2)))
U102(tt) → tt
U11(tt, N, XS) → U12(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U111(tt) → tt
U12(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U121(tt) → tt
U131(tt, V2) → U132(isLNat(activate(V2)))
U132(tt) → tt
U141(tt, V2) → U142(isLNat(activate(V2)))
U142(tt) → tt
U151(tt, V2) → U152(isLNat(activate(V2)))
U152(tt) → tt
U161(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
U171(tt, N, XS) → U172(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U172(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U181(tt, Y) → U182(isLNat(activate(Y)), activate(Y))
U182(tt, Y) → activate(Y)
U191(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U201(tt, N, X, XS) → U202(isNatural(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U202(tt, N, X, XS) → U203(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U203(tt, N, X, XS) → U204(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U204(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U21(tt, X, Y) → U22(isLNat(activate(Y)), activate(X))
U211(tt, XS) → U212(isLNat(activate(XS)), activate(XS))
U212(tt, XS) → activate(XS)
U22(tt, X) → activate(X)
U221(tt, N, XS) → U222(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U222(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U31(tt, N, XS) → U32(isLNat(activate(XS)), activate(N))
U32(tt, N) → activate(N)
U41(tt, V2) → U42(isLNat(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isLNat(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt) → tt
U81(tt) → tt
U91(tt) → tt
afterNth(N, XS) → U11(isNatural(N), N, XS)
fst(pair(X, Y)) → U21(isLNat(X), X, Y)
head(cons(N, XS)) → U31(isNatural(N), N, activate(XS))
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → U41(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → U51(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) → U61(isPLNat(activate(V1)))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → U71(isNatural(activate(V1)))
isLNat(n__snd(V1)) → U81(isPLNat(activate(V1)))
isLNat(n__tail(V1)) → U91(isLNat(activate(V1)))
isLNat(n__take(V1, V2)) → U101(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → U111(isLNat(activate(V1)))
isNatural(n__s(V1)) → U121(isNatural(activate(V1)))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → U131(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → U141(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → U151(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
natsFrom(N) → U161(isNatural(N), N)
sel(N, XS) → U171(isNatural(N), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U181(isLNat(X), Y)
splitAt(0', XS) → U191(isLNat(XS), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U201(isNatural(N), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U211(isNatural(N), activate(XS))
take(N, XS) → U221(isNatural(N), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
s(X) → n__s(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(X1, X2)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__fst(X)) → fst(X)
activate(n__snd(X)) → snd(X)
activate(n__tail(X)) → tail(X)
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(X1, X2)
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(X1, X2)
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
U101 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
tt :: tt
U102 :: tt → tt
isLNat :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
activate :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U11 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U12 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U111 :: tt → tt
snd :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
splitAt :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U121 :: tt → tt
U131 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U132 :: tt → tt
U141 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U142 :: tt → tt
U151 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U152 :: tt → tt
U161 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
cons :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__natsFrom :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
s :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U171 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U172 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
head :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
afterNth :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U181 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U182 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U191 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
pair :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
nil :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U201 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U202 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isNatural :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U203 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U204 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U21 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U22 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U211 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U212 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U221 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U222 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
fst :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U31 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U32 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U41 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U42 :: tt → tt
U51 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → tt
U71 :: tt → tt
U81 :: tt → tt
U91 :: tt → tt
n__nil :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__afterNth :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__cons :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__fst :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isPLNat :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
n__snd :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__tail :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__take :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__0 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__head :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__s :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__sel :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__pair :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__splitAt :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
natsFrom :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
sel :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
0' :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
tail :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
take :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
hole_tt1_5 :: tt
hole_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_5 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5 :: Nat → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt

Generator Equations:
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5(0) ⇔ n__nil
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
splitAt, head, U191, U204, fst, isPLNat, tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
isLNat = activate
isLNat = snd
isLNat = splitAt
isLNat = head
isLNat = afterNth
isLNat = U191
isLNat = isNatural
isLNat = U204
isLNat = fst
isLNat = isPLNat
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
activate = snd
activate = splitAt
activate = head
activate = afterNth
activate = U191
activate = isNatural
activate = U204
activate = fst
activate = isPLNat
activate = natsFrom
activate = tail
snd = splitAt
snd = head
snd = afterNth
snd = U191
snd = isNatural
snd = U204
snd = fst
snd = isPLNat
snd = natsFrom
snd = tail
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U191
splitAt = isNatural
splitAt = U204
splitAt = fst
splitAt = isPLNat
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
head = afterNth
head = U191
head = isNatural
head = U204
head = fst
head = isPLNat
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U191
afterNth = isNatural
afterNth = U204
afterNth = fst
afterNth = isPLNat
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U191 = isNatural
U191 = U204
U191 = fst
U191 = isPLNat
U191 = natsFrom
U191 = tail
isNatural = U204
isNatural = fst
isNatural = isPLNat
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
U204 = fst
U204 = isPLNat
U204 = natsFrom
U204 = tail
fst = isPLNat
fst = natsFrom
fst = tail
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
natsFrom = tail

(21) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol splitAt.

(22) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, V2) → U102(isLNat(activate(V2)))
U102(tt) → tt
U11(tt, N, XS) → U12(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U111(tt) → tt
U12(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U121(tt) → tt
U131(tt, V2) → U132(isLNat(activate(V2)))
U132(tt) → tt
U141(tt, V2) → U142(isLNat(activate(V2)))
U142(tt) → tt
U151(tt, V2) → U152(isLNat(activate(V2)))
U152(tt) → tt
U161(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
U171(tt, N, XS) → U172(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U172(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U181(tt, Y) → U182(isLNat(activate(Y)), activate(Y))
U182(tt, Y) → activate(Y)
U191(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U201(tt, N, X, XS) → U202(isNatural(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U202(tt, N, X, XS) → U203(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U203(tt, N, X, XS) → U204(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U204(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U21(tt, X, Y) → U22(isLNat(activate(Y)), activate(X))
U211(tt, XS) → U212(isLNat(activate(XS)), activate(XS))
U212(tt, XS) → activate(XS)
U22(tt, X) → activate(X)
U221(tt, N, XS) → U222(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U222(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U31(tt, N, XS) → U32(isLNat(activate(XS)), activate(N))
U32(tt, N) → activate(N)
U41(tt, V2) → U42(isLNat(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isLNat(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt) → tt
U81(tt) → tt
U91(tt) → tt
afterNth(N, XS) → U11(isNatural(N), N, XS)
fst(pair(X, Y)) → U21(isLNat(X), X, Y)
head(cons(N, XS)) → U31(isNatural(N), N, activate(XS))
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → U41(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → U51(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) → U61(isPLNat(activate(V1)))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → U71(isNatural(activate(V1)))
isLNat(n__snd(V1)) → U81(isPLNat(activate(V1)))
isLNat(n__tail(V1)) → U91(isLNat(activate(V1)))
isLNat(n__take(V1, V2)) → U101(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → U111(isLNat(activate(V1)))
isNatural(n__s(V1)) → U121(isNatural(activate(V1)))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → U131(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → U141(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → U151(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
natsFrom(N) → U161(isNatural(N), N)
sel(N, XS) → U171(isNatural(N), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U181(isLNat(X), Y)
splitAt(0', XS) → U191(isLNat(XS), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U201(isNatural(N), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U211(isNatural(N), activate(XS))
take(N, XS) → U221(isNatural(N), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
s(X) → n__s(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(X1, X2)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__fst(X)) → fst(X)
activate(n__snd(X)) → snd(X)
activate(n__tail(X)) → tail(X)
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(X1, X2)
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(X1, X2)
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
U101 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
tt :: tt
U102 :: tt → tt
isLNat :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
activate :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U11 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U12 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U111 :: tt → tt
snd :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
splitAt :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U121 :: tt → tt
U131 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U132 :: tt → tt
U141 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U142 :: tt → tt
U151 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U152 :: tt → tt
U161 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
cons :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__natsFrom :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
s :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U171 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U172 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
head :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
afterNth :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U181 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U182 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U191 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
pair :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
nil :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U201 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U202 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isNatural :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U203 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U204 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U21 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U22 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U211 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U212 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U221 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U222 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
fst :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
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U32 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U41 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U42 :: tt → tt
U51 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → tt
U71 :: tt → tt
U81 :: tt → tt
U91 :: tt → tt
n__nil :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__afterNth :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__cons :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__fst :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isPLNat :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
n__snd :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__tail :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__take :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__0 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__head :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__s :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__sel :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__pair :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__splitAt :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
natsFrom :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
sel :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
0' :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
tail :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
take :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
hole_tt1_5 :: tt
hole_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_5 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5 :: Nat → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt

Generator Equations:
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5(0) ⇔ n__nil
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
U191, head, U204, fst, isPLNat, tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
isLNat = activate
isLNat = snd
isLNat = splitAt
isLNat = head
isLNat = afterNth
isLNat = U191
isLNat = isNatural
isLNat = U204
isLNat = fst
isLNat = isPLNat
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
activate = snd
activate = splitAt
activate = head
activate = afterNth
activate = U191
activate = isNatural
activate = U204
activate = fst
activate = isPLNat
activate = natsFrom
activate = tail
snd = splitAt
snd = head
snd = afterNth
snd = U191
snd = isNatural
snd = U204
snd = fst
snd = isPLNat
snd = natsFrom
snd = tail
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U191
splitAt = isNatural
splitAt = U204
splitAt = fst
splitAt = isPLNat
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
head = afterNth
head = U191
head = isNatural
head = U204
head = fst
head = isPLNat
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U191
afterNth = isNatural
afterNth = U204
afterNth = fst
afterNth = isPLNat
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U191 = isNatural
U191 = U204
U191 = fst
U191 = isPLNat
U191 = natsFrom
U191 = tail
isNatural = U204
isNatural = fst
isNatural = isPLNat
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
U204 = fst
U204 = isPLNat
U204 = natsFrom
U204 = tail
fst = isPLNat
fst = natsFrom
fst = tail
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
natsFrom = tail

(23) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol U191.

(24) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, V2) → U102(isLNat(activate(V2)))
U102(tt) → tt
U11(tt, N, XS) → U12(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U111(tt) → tt
U12(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U121(tt) → tt
U131(tt, V2) → U132(isLNat(activate(V2)))
U132(tt) → tt
U141(tt, V2) → U142(isLNat(activate(V2)))
U142(tt) → tt
U151(tt, V2) → U152(isLNat(activate(V2)))
U152(tt) → tt
U161(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
U171(tt, N, XS) → U172(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U172(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U181(tt, Y) → U182(isLNat(activate(Y)), activate(Y))
U182(tt, Y) → activate(Y)
U191(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U201(tt, N, X, XS) → U202(isNatural(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U202(tt, N, X, XS) → U203(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U203(tt, N, X, XS) → U204(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U204(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U21(tt, X, Y) → U22(isLNat(activate(Y)), activate(X))
U211(tt, XS) → U212(isLNat(activate(XS)), activate(XS))
U212(tt, XS) → activate(XS)
U22(tt, X) → activate(X)
U221(tt, N, XS) → U222(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U222(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U31(tt, N, XS) → U32(isLNat(activate(XS)), activate(N))
U32(tt, N) → activate(N)
U41(tt, V2) → U42(isLNat(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isLNat(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt) → tt
U81(tt) → tt
U91(tt) → tt
afterNth(N, XS) → U11(isNatural(N), N, XS)
fst(pair(X, Y)) → U21(isLNat(X), X, Y)
head(cons(N, XS)) → U31(isNatural(N), N, activate(XS))
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → U41(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → U51(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) → U61(isPLNat(activate(V1)))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → U71(isNatural(activate(V1)))
isLNat(n__snd(V1)) → U81(isPLNat(activate(V1)))
isLNat(n__tail(V1)) → U91(isLNat(activate(V1)))
isLNat(n__take(V1, V2)) → U101(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → U111(isLNat(activate(V1)))
isNatural(n__s(V1)) → U121(isNatural(activate(V1)))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → U131(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → U141(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → U151(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
natsFrom(N) → U161(isNatural(N), N)
sel(N, XS) → U171(isNatural(N), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U181(isLNat(X), Y)
splitAt(0', XS) → U191(isLNat(XS), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U201(isNatural(N), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U211(isNatural(N), activate(XS))
take(N, XS) → U221(isNatural(N), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
s(X) → n__s(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(X1, X2)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__fst(X)) → fst(X)
activate(n__snd(X)) → snd(X)
activate(n__tail(X)) → tail(X)
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(X1, X2)
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(X1, X2)
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
U101 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
tt :: tt
U102 :: tt → tt
isLNat :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
activate :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U11 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U12 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U111 :: tt → tt
snd :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
splitAt :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U121 :: tt → tt
U131 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U132 :: tt → tt
U141 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U142 :: tt → tt
U151 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U152 :: tt → tt
U161 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
cons :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__natsFrom :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
s :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U171 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U172 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
head :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
afterNth :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U181 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U182 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U191 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
pair :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
nil :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U201 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U202 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isNatural :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U203 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U204 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U21 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U22 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U211 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U212 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U221 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U222 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
fst :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U31 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U32 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U41 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U42 :: tt → tt
U51 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → tt
U71 :: tt → tt
U81 :: tt → tt
U91 :: tt → tt
n__nil :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__afterNth :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__cons :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__fst :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isPLNat :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
n__snd :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__tail :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__take :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__0 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__head :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__s :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__sel :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__pair :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__splitAt :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
natsFrom :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
sel :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
0' :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
tail :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
take :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
hole_tt1_5 :: tt
hole_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_5 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5 :: Nat → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt

Generator Equations:
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5(0) ⇔ n__nil
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
U204, head, fst, isPLNat, tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
isLNat = activate
isLNat = snd
isLNat = splitAt
isLNat = head
isLNat = afterNth
isLNat = U191
isLNat = isNatural
isLNat = U204
isLNat = fst
isLNat = isPLNat
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
activate = snd
activate = splitAt
activate = head
activate = afterNth
activate = U191
activate = isNatural
activate = U204
activate = fst
activate = isPLNat
activate = natsFrom
activate = tail
snd = splitAt
snd = head
snd = afterNth
snd = U191
snd = isNatural
snd = U204
snd = fst
snd = isPLNat
snd = natsFrom
snd = tail
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U191
splitAt = isNatural
splitAt = U204
splitAt = fst
splitAt = isPLNat
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
head = afterNth
head = U191
head = isNatural
head = U204
head = fst
head = isPLNat
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U191
afterNth = isNatural
afterNth = U204
afterNth = fst
afterNth = isPLNat
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U191 = isNatural
U191 = U204
U191 = fst
U191 = isPLNat
U191 = natsFrom
U191 = tail
isNatural = U204
isNatural = fst
isNatural = isPLNat
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
U204 = fst
U204 = isPLNat
U204 = natsFrom
U204 = tail
fst = isPLNat
fst = natsFrom
fst = tail
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
natsFrom = tail

(25) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol U204.

(26) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, V2) → U102(isLNat(activate(V2)))
U102(tt) → tt
U11(tt, N, XS) → U12(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U111(tt) → tt
U12(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U121(tt) → tt
U131(tt, V2) → U132(isLNat(activate(V2)))
U132(tt) → tt
U141(tt, V2) → U142(isLNat(activate(V2)))
U142(tt) → tt
U151(tt, V2) → U152(isLNat(activate(V2)))
U152(tt) → tt
U161(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
U171(tt, N, XS) → U172(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U172(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U181(tt, Y) → U182(isLNat(activate(Y)), activate(Y))
U182(tt, Y) → activate(Y)
U191(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U201(tt, N, X, XS) → U202(isNatural(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U202(tt, N, X, XS) → U203(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U203(tt, N, X, XS) → U204(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U204(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U21(tt, X, Y) → U22(isLNat(activate(Y)), activate(X))
U211(tt, XS) → U212(isLNat(activate(XS)), activate(XS))
U212(tt, XS) → activate(XS)
U22(tt, X) → activate(X)
U221(tt, N, XS) → U222(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U222(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U31(tt, N, XS) → U32(isLNat(activate(XS)), activate(N))
U32(tt, N) → activate(N)
U41(tt, V2) → U42(isLNat(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isLNat(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt) → tt
U81(tt) → tt
U91(tt) → tt
afterNth(N, XS) → U11(isNatural(N), N, XS)
fst(pair(X, Y)) → U21(isLNat(X), X, Y)
head(cons(N, XS)) → U31(isNatural(N), N, activate(XS))
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → U41(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → U51(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) → U61(isPLNat(activate(V1)))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → U71(isNatural(activate(V1)))
isLNat(n__snd(V1)) → U81(isPLNat(activate(V1)))
isLNat(n__tail(V1)) → U91(isLNat(activate(V1)))
isLNat(n__take(V1, V2)) → U101(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → U111(isLNat(activate(V1)))
isNatural(n__s(V1)) → U121(isNatural(activate(V1)))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → U131(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → U141(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → U151(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
natsFrom(N) → U161(isNatural(N), N)
sel(N, XS) → U171(isNatural(N), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U181(isLNat(X), Y)
splitAt(0', XS) → U191(isLNat(XS), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U201(isNatural(N), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U211(isNatural(N), activate(XS))
take(N, XS) → U221(isNatural(N), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
s(X) → n__s(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(X1, X2)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__fst(X)) → fst(X)
activate(n__snd(X)) → snd(X)
activate(n__tail(X)) → tail(X)
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(X1, X2)
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(X1, X2)
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
U101 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
tt :: tt
U102 :: tt → tt
isLNat :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
activate :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U11 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U12 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U111 :: tt → tt
snd :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
splitAt :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U121 :: tt → tt
U131 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U132 :: tt → tt
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U152 :: tt → tt
U161 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
cons :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__natsFrom :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
s :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U171 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U172 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
head :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
afterNth :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
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U182 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U191 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
pair :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
nil :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U201 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
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U203 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U204 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
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U52 :: tt → tt
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U71 :: tt → tt
U81 :: tt → tt
U91 :: tt → tt
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n__tail :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__take :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__0 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__head :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__s :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__sel :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__pair :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__splitAt :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
natsFrom :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
sel :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
0' :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
tail :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
take :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
hole_tt1_5 :: tt
hole_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_5 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5 :: Nat → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt

Generator Equations:
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5(0) ⇔ n__nil
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
fst, head, isPLNat, tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
isLNat = activate
isLNat = snd
isLNat = splitAt
isLNat = head
isLNat = afterNth
isLNat = U191
isLNat = isNatural
isLNat = U204
isLNat = fst
isLNat = isPLNat
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
activate = snd
activate = splitAt
activate = head
activate = afterNth
activate = U191
activate = isNatural
activate = U204
activate = fst
activate = isPLNat
activate = natsFrom
activate = tail
snd = splitAt
snd = head
snd = afterNth
snd = U191
snd = isNatural
snd = U204
snd = fst
snd = isPLNat
snd = natsFrom
snd = tail
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U191
splitAt = isNatural
splitAt = U204
splitAt = fst
splitAt = isPLNat
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
head = afterNth
head = U191
head = isNatural
head = U204
head = fst
head = isPLNat
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U191
afterNth = isNatural
afterNth = U204
afterNth = fst
afterNth = isPLNat
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U191 = isNatural
U191 = U204
U191 = fst
U191 = isPLNat
U191 = natsFrom
U191 = tail
isNatural = U204
isNatural = fst
isNatural = isPLNat
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
U204 = fst
U204 = isPLNat
U204 = natsFrom
U204 = tail
fst = isPLNat
fst = natsFrom
fst = tail
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
natsFrom = tail

(27) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol fst.

(28) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, V2) → U102(isLNat(activate(V2)))
U102(tt) → tt
U11(tt, N, XS) → U12(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U111(tt) → tt
U12(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U121(tt) → tt
U131(tt, V2) → U132(isLNat(activate(V2)))
U132(tt) → tt
U141(tt, V2) → U142(isLNat(activate(V2)))
U142(tt) → tt
U151(tt, V2) → U152(isLNat(activate(V2)))
U152(tt) → tt
U161(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
U171(tt, N, XS) → U172(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U172(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U181(tt, Y) → U182(isLNat(activate(Y)), activate(Y))
U182(tt, Y) → activate(Y)
U191(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U201(tt, N, X, XS) → U202(isNatural(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U202(tt, N, X, XS) → U203(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U203(tt, N, X, XS) → U204(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U204(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U21(tt, X, Y) → U22(isLNat(activate(Y)), activate(X))
U211(tt, XS) → U212(isLNat(activate(XS)), activate(XS))
U212(tt, XS) → activate(XS)
U22(tt, X) → activate(X)
U221(tt, N, XS) → U222(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U222(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U31(tt, N, XS) → U32(isLNat(activate(XS)), activate(N))
U32(tt, N) → activate(N)
U41(tt, V2) → U42(isLNat(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isLNat(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt) → tt
U81(tt) → tt
U91(tt) → tt
afterNth(N, XS) → U11(isNatural(N), N, XS)
fst(pair(X, Y)) → U21(isLNat(X), X, Y)
head(cons(N, XS)) → U31(isNatural(N), N, activate(XS))
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → U41(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → U51(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) → U61(isPLNat(activate(V1)))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → U71(isNatural(activate(V1)))
isLNat(n__snd(V1)) → U81(isPLNat(activate(V1)))
isLNat(n__tail(V1)) → U91(isLNat(activate(V1)))
isLNat(n__take(V1, V2)) → U101(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → U111(isLNat(activate(V1)))
isNatural(n__s(V1)) → U121(isNatural(activate(V1)))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → U131(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → U141(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → U151(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
natsFrom(N) → U161(isNatural(N), N)
sel(N, XS) → U171(isNatural(N), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U181(isLNat(X), Y)
splitAt(0', XS) → U191(isLNat(XS), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U201(isNatural(N), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U211(isNatural(N), activate(XS))
take(N, XS) → U221(isNatural(N), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
s(X) → n__s(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(X1, X2)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__fst(X)) → fst(X)
activate(n__snd(X)) → snd(X)
activate(n__tail(X)) → tail(X)
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(X1, X2)
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(X1, X2)
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
U101 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
tt :: tt
U102 :: tt → tt
isLNat :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
activate :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U11 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U12 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U111 :: tt → tt
snd :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
splitAt :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U121 :: tt → tt
U131 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U132 :: tt → tt
U141 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U142 :: tt → tt
U151 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U152 :: tt → tt
U161 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
cons :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__natsFrom :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
s :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U171 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U172 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
head :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
afterNth :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U181 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U182 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U191 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
pair :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
nil :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U201 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U202 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isNatural :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U203 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U204 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U21 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U22 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U211 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U212 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U221 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U222 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
fst :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U31 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U32 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U41 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U42 :: tt → tt
U51 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → tt
U71 :: tt → tt
U81 :: tt → tt
U91 :: tt → tt
n__nil :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__afterNth :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__cons :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__fst :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isPLNat :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
n__snd :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__tail :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__take :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__0 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__head :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__s :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__sel :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__pair :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__splitAt :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
natsFrom :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
sel :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
0' :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
tail :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
take :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
hole_tt1_5 :: tt
hole_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_5 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5 :: Nat → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt

Generator Equations:
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5(0) ⇔ n__nil
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
tail, head, isPLNat

They will be analysed ascendingly in the following order:
isLNat = activate
isLNat = snd
isLNat = splitAt
isLNat = head
isLNat = afterNth
isLNat = U191
isLNat = isNatural
isLNat = U204
isLNat = fst
isLNat = isPLNat
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
activate = snd
activate = splitAt
activate = head
activate = afterNth
activate = U191
activate = isNatural
activate = U204
activate = fst
activate = isPLNat
activate = natsFrom
activate = tail
snd = splitAt
snd = head
snd = afterNth
snd = U191
snd = isNatural
snd = U204
snd = fst
snd = isPLNat
snd = natsFrom
snd = tail
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U191
splitAt = isNatural
splitAt = U204
splitAt = fst
splitAt = isPLNat
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
head = afterNth
head = U191
head = isNatural
head = U204
head = fst
head = isPLNat
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U191
afterNth = isNatural
afterNth = U204
afterNth = fst
afterNth = isPLNat
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U191 = isNatural
U191 = U204
U191 = fst
U191 = isPLNat
U191 = natsFrom
U191 = tail
isNatural = U204
isNatural = fst
isNatural = isPLNat
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
U204 = fst
U204 = isPLNat
U204 = natsFrom
U204 = tail
fst = isPLNat
fst = natsFrom
fst = tail
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
natsFrom = tail

(29) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol tail.

(30) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, V2) → U102(isLNat(activate(V2)))
U102(tt) → tt
U11(tt, N, XS) → U12(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U111(tt) → tt
U12(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U121(tt) → tt
U131(tt, V2) → U132(isLNat(activate(V2)))
U132(tt) → tt
U141(tt, V2) → U142(isLNat(activate(V2)))
U142(tt) → tt
U151(tt, V2) → U152(isLNat(activate(V2)))
U152(tt) → tt
U161(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
U171(tt, N, XS) → U172(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U172(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U181(tt, Y) → U182(isLNat(activate(Y)), activate(Y))
U182(tt, Y) → activate(Y)
U191(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U201(tt, N, X, XS) → U202(isNatural(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U202(tt, N, X, XS) → U203(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U203(tt, N, X, XS) → U204(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U204(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U21(tt, X, Y) → U22(isLNat(activate(Y)), activate(X))
U211(tt, XS) → U212(isLNat(activate(XS)), activate(XS))
U212(tt, XS) → activate(XS)
U22(tt, X) → activate(X)
U221(tt, N, XS) → U222(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U222(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U31(tt, N, XS) → U32(isLNat(activate(XS)), activate(N))
U32(tt, N) → activate(N)
U41(tt, V2) → U42(isLNat(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isLNat(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt) → tt
U81(tt) → tt
U91(tt) → tt
afterNth(N, XS) → U11(isNatural(N), N, XS)
fst(pair(X, Y)) → U21(isLNat(X), X, Y)
head(cons(N, XS)) → U31(isNatural(N), N, activate(XS))
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → U41(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → U51(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) → U61(isPLNat(activate(V1)))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → U71(isNatural(activate(V1)))
isLNat(n__snd(V1)) → U81(isPLNat(activate(V1)))
isLNat(n__tail(V1)) → U91(isLNat(activate(V1)))
isLNat(n__take(V1, V2)) → U101(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → U111(isLNat(activate(V1)))
isNatural(n__s(V1)) → U121(isNatural(activate(V1)))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → U131(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → U141(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → U151(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
natsFrom(N) → U161(isNatural(N), N)
sel(N, XS) → U171(isNatural(N), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U181(isLNat(X), Y)
splitAt(0', XS) → U191(isLNat(XS), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U201(isNatural(N), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U211(isNatural(N), activate(XS))
take(N, XS) → U221(isNatural(N), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
s(X) → n__s(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(X)
activate(n__nil) → nil
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sel :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
0' :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
tail :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
take :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
hole_tt1_5 :: tt
hole_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_5 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5 :: Nat → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt

Generator Equations:
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5(0) ⇔ n__nil
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
head, isPLNat

They will be analysed ascendingly in the following order:
isLNat = activate
isLNat = snd
isLNat = splitAt
isLNat = head
isLNat = afterNth
isLNat = U191
isLNat = isNatural
isLNat = U204
isLNat = fst
isLNat = isPLNat
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
activate = snd
activate = splitAt
activate = head
activate = afterNth
activate = U191
activate = isNatural
activate = U204
activate = fst
activate = isPLNat
activate = natsFrom
activate = tail
snd = splitAt
snd = head
snd = afterNth
snd = U191
snd = isNatural
snd = U204
snd = fst
snd = isPLNat
snd = natsFrom
snd = tail
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U191
splitAt = isNatural
splitAt = U204
splitAt = fst
splitAt = isPLNat
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
head = afterNth
head = U191
head = isNatural
head = U204
head = fst
head = isPLNat
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U191
afterNth = isNatural
afterNth = U204
afterNth = fst
afterNth = isPLNat
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U191 = isNatural
U191 = U204
U191 = fst
U191 = isPLNat
U191 = natsFrom
U191 = tail
isNatural = U204
isNatural = fst
isNatural = isPLNat
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
U204 = fst
U204 = isPLNat
U204 = natsFrom
U204 = tail
fst = isPLNat
fst = natsFrom
fst = tail
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
natsFrom = tail

(31) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol head.

(32) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, V2) → U102(isLNat(activate(V2)))
U102(tt) → tt
U11(tt, N, XS) → U12(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U111(tt) → tt
U12(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U121(tt) → tt
U131(tt, V2) → U132(isLNat(activate(V2)))
U132(tt) → tt
U141(tt, V2) → U142(isLNat(activate(V2)))
U142(tt) → tt
U151(tt, V2) → U152(isLNat(activate(V2)))
U152(tt) → tt
U161(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
U171(tt, N, XS) → U172(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U172(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U181(tt, Y) → U182(isLNat(activate(Y)), activate(Y))
U182(tt, Y) → activate(Y)
U191(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U201(tt, N, X, XS) → U202(isNatural(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U202(tt, N, X, XS) → U203(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U203(tt, N, X, XS) → U204(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U204(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U21(tt, X, Y) → U22(isLNat(activate(Y)), activate(X))
U211(tt, XS) → U212(isLNat(activate(XS)), activate(XS))
U212(tt, XS) → activate(XS)
U22(tt, X) → activate(X)
U221(tt, N, XS) → U222(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U222(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U31(tt, N, XS) → U32(isLNat(activate(XS)), activate(N))
U32(tt, N) → activate(N)
U41(tt, V2) → U42(isLNat(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isLNat(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt) → tt
U81(tt) → tt
U91(tt) → tt
afterNth(N, XS) → U11(isNatural(N), N, XS)
fst(pair(X, Y)) → U21(isLNat(X), X, Y)
head(cons(N, XS)) → U31(isNatural(N), N, activate(XS))
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → U41(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → U51(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) → U61(isPLNat(activate(V1)))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → U71(isNatural(activate(V1)))
isLNat(n__snd(V1)) → U81(isPLNat(activate(V1)))
isLNat(n__tail(V1)) → U91(isLNat(activate(V1)))
isLNat(n__take(V1, V2)) → U101(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → U111(isLNat(activate(V1)))
isNatural(n__s(V1)) → U121(isNatural(activate(V1)))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → U131(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → U141(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → U151(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
natsFrom(N) → U161(isNatural(N), N)
sel(N, XS) → U171(isNatural(N), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U181(isLNat(X), Y)
splitAt(0', XS) → U191(isLNat(XS), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U201(isNatural(N), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U211(isNatural(N), activate(XS))
take(N, XS) → U221(isNatural(N), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
s(X) → n__s(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(X1, X2)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__fst(X)) → fst(X)
activate(n__snd(X)) → snd(X)
activate(n__tail(X)) → tail(X)
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(X1, X2)
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(X1, X2)
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
U101 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
tt :: tt
U102 :: tt → tt
isLNat :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
activate :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U11 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U12 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U111 :: tt → tt
snd :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
splitAt :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U121 :: tt → tt
U131 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U132 :: tt → tt
U141 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U142 :: tt → tt
U151 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U152 :: tt → tt
U161 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
cons :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__natsFrom :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
s :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U171 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U172 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
head :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
afterNth :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U181 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U182 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U191 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
pair :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
nil :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U201 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U202 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isNatural :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U203 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U204 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U21 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U22 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U211 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U212 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U221 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U222 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
fst :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U31 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U32 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U41 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U42 :: tt → tt
U51 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → tt
U71 :: tt → tt
U81 :: tt → tt
U91 :: tt → tt
n__nil :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__afterNth :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__cons :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__fst :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isPLNat :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
n__snd :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__tail :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__take :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__0 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__head :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__s :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__sel :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__pair :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__splitAt :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
natsFrom :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
sel :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
0' :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
tail :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
take :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
hole_tt1_5 :: tt
hole_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_5 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5 :: Nat → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt

Generator Equations:
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5(0) ⇔ n__nil
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isPLNat

They will be analysed ascendingly in the following order:
isLNat = activate
isLNat = snd
isLNat = splitAt
isLNat = head
isLNat = afterNth
isLNat = U191
isLNat = isNatural
isLNat = U204
isLNat = fst
isLNat = isPLNat
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
activate = snd
activate = splitAt
activate = head
activate = afterNth
activate = U191
activate = isNatural
activate = U204
activate = fst
activate = isPLNat
activate = natsFrom
activate = tail
snd = splitAt
snd = head
snd = afterNth
snd = U191
snd = isNatural
snd = U204
snd = fst
snd = isPLNat
snd = natsFrom
snd = tail
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U191
splitAt = isNatural
splitAt = U204
splitAt = fst
splitAt = isPLNat
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
head = afterNth
head = U191
head = isNatural
head = U204
head = fst
head = isPLNat
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U191
afterNth = isNatural
afterNth = U204
afterNth = fst
afterNth = isPLNat
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U191 = isNatural
U191 = U204
U191 = fst
U191 = isPLNat
U191 = natsFrom
U191 = tail
isNatural = U204
isNatural = fst
isNatural = isPLNat
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
U204 = fst
U204 = isPLNat
U204 = natsFrom
U204 = tail
fst = isPLNat
fst = natsFrom
fst = tail
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
natsFrom = tail

(33) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isPLNat.

(34) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, V2) → U102(isLNat(activate(V2)))
U102(tt) → tt
U11(tt, N, XS) → U12(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U111(tt) → tt
U12(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U121(tt) → tt
U131(tt, V2) → U132(isLNat(activate(V2)))
U132(tt) → tt
U141(tt, V2) → U142(isLNat(activate(V2)))
U142(tt) → tt
U151(tt, V2) → U152(isLNat(activate(V2)))
U152(tt) → tt
U161(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
U171(tt, N, XS) → U172(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U172(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U181(tt, Y) → U182(isLNat(activate(Y)), activate(Y))
U182(tt, Y) → activate(Y)
U191(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U201(tt, N, X, XS) → U202(isNatural(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U202(tt, N, X, XS) → U203(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U203(tt, N, X, XS) → U204(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U204(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U21(tt, X, Y) → U22(isLNat(activate(Y)), activate(X))
U211(tt, XS) → U212(isLNat(activate(XS)), activate(XS))
U212(tt, XS) → activate(XS)
U22(tt, X) → activate(X)
U221(tt, N, XS) → U222(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U222(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U31(tt, N, XS) → U32(isLNat(activate(XS)), activate(N))
U32(tt, N) → activate(N)
U41(tt, V2) → U42(isLNat(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isLNat(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt) → tt
U81(tt) → tt
U91(tt) → tt
afterNth(N, XS) → U11(isNatural(N), N, XS)
fst(pair(X, Y)) → U21(isLNat(X), X, Y)
head(cons(N, XS)) → U31(isNatural(N), N, activate(XS))
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → U41(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → U51(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) → U61(isPLNat(activate(V1)))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → U71(isNatural(activate(V1)))
isLNat(n__snd(V1)) → U81(isPLNat(activate(V1)))
isLNat(n__tail(V1)) → U91(isLNat(activate(V1)))
isLNat(n__take(V1, V2)) → U101(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → U111(isLNat(activate(V1)))
isNatural(n__s(V1)) → U121(isNatural(activate(V1)))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → U131(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → U141(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → U151(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
natsFrom(N) → U161(isNatural(N), N)
sel(N, XS) → U171(isNatural(N), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U181(isLNat(X), Y)
splitAt(0', XS) → U191(isLNat(XS), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U201(isNatural(N), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U211(isNatural(N), activate(XS))
take(N, XS) → U221(isNatural(N), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
s(X) → n__s(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(X1, X2)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__fst(X)) → fst(X)
activate(n__snd(X)) → snd(X)
activate(n__tail(X)) → tail(X)
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(X1, X2)
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(X1, X2)
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
U101 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
tt :: tt
U102 :: tt → tt
isLNat :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
activate :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U11 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U12 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U111 :: tt → tt
snd :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
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nil :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
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isNatural :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
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U204 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
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fst :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
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n__take :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__0 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__head :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__s :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__sel :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
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sel :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
0' :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
tail :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
take :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
hole_tt1_5 :: tt
hole_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_5 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5 :: Nat → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt

Generator Equations:
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5(0) ⇔ n__nil
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_5(x))

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